Barisan dan Deret Geometri

A.Barisan Geometri

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^n-1
U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)



B.Deret Geometri

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
      = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
   
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
   U_n > U_n-1
   
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
   U_n < U_n-1
   
   Bergantian naik turun, jika r < 0
   
   
4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
   
5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
             _______      __________
   Ut = Ö U₁xU_n    = Ö U₂ X U_n-1      dst.  
   
   
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
   
   

Sumber:http://free.vlsm.org

Deret Aritmatika

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+U_n)
      = 1/2 n[2a+(n-1)b]
      = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
   
   
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
   Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
   
   
3. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
   
   
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
   
   U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.
   
   
5. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
   
   
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
   
   
   
   Sumber:http://free.vlsm.org
   

Barisan Aritmatika

U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                      U₁, U₂,   U₃ ............., U_n

Rumus Suku ke-n :

U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

 Sumber:http://free.vlsm.org

Dasar Trigonometri Part 9 - Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus ini berbeda dengan rumus penjumlahan sudut, karena disini yang dijumlahkan bukan sudut melainkan fungsi trigonometri. rumus ini dapat kita kembangkan dari rumus perkalian sinus dan cosinus, seperti biasa proses pengembangan rumus dapat dilihat dari buku cetak matematika

sin α + sin β = 2 sin ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
sin α – sin β = 2 cos ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )
cos α + cos β = 2 cos ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
cos α – cos β = - 2 sin ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β ) 

 

Sumber:http://matematika-qt.blogspot.com

Dasar Trigonometri Part 8 - Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengalikan fungsi trigonometri, pada dasarnya rumus ini hasil pengembangan dari rumus penjumlahan sudut dengan cara eliminasi atau bisa juga dengan cara substitusi, seperti biasa cara pengembangannya dapat dilihat dibuku cetak matematika

sin α cos β = ½ { sin ( α + β ) + sin ( α – β ) }
cos α sin β = ½ { sin ( α + β ) – sin ( α – β ) }
cos α cos β = ½ { cos ( α + β ) + cos ( α – β ) }
sin α sin β = - ½ { cos ( α + β ) – cos ( α – β ) }

Sumber:http://matematika-qt.blogspot.com